如图，在$\triangle ABC$中，$∠C=90°$，$AC=BC$，$AD$平分$∠CAB$，交$BC$于点$D$，$DE⊥AB$于点$E$．$(1)$已知$CD=4$，求$AC$的长．$(2)$求证：$AB=AC+CD$．

如图，在$\triangle ABC$中，$∠C=90°$，$AC=BC$，$AD$平分$∠CAB$，交$BC$于点$D$，$DE⊥AB$于点$E$．$(1)$已知$CD=4$，求$AC$的长．$(2)$求证：$AB=AC+CD$．

$(1)∵AD$是$∠ABC$的角平分线，$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，

$∴DE=CD=4$$cm$，

$∵AC=BC$

$∴∠B=∠BAC$

$∵∠C=90°$，

$∴∠B=90°÷2=45°$

$∴∠BDE=90°-45°=45°$．

$∴BE=DE$，

在等腰直角三角形$BDE$中，$BD= \sqrt {BE^{2}+DE^{2}} =4 \sqrt {2}$，

$∴AC=BC=CD+BD=4+4 \sqrt {2}$，

$(2)$证明：由$(1)$的求解过程易知，

$ \begin{cases} {AD=AD} \\ {CD=ED}\end{cases}$，

$∴{\rm Rt}\triangle ACD$≌${\rm Rt}\triangle AED$$($$HL$$)$，

$∴AC=AE$，

$∵BE=DE=CD$，

$∴AB=AE+BE=AC+CD$．