函数的值域的求法

函数的值域的求法

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为r，值域为r；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图芦毁像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，嫌中∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为r时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两芹哗山端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?r∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.