斜面的机械效率跟什么有关

斜面的机械效率跟什么有关

斜面的机械效率跟什么有关

斜面是常见的省力机械，计算它的机械效率非常容易，但是分析斜面的机械效率跟哪些因素有关，稍有难度。解决问题的关键是要将重力分解为下沉力和下滑力，从而得到物体对斜面的压力，然后根据滑动摩擦力与压力的关系，进一步得出摩擦力，从而算得额外功，最后导出机械效率的表达式。

参看图1，设斜面高度为 h ，长度为 s ， 倾角度数 为 θ ， 动摩擦系数 为 μ 。

一、预备知识

首先，需要知道斜面高度与斜面长度之间的关系

高度与长度的关系

然后，沿着平行斜面和垂直斜面的两个方向分解重力

分解重力为下沉力和下滑力

接着，根据二力平衡和相互作用力的关系，容易得出物体对斜面的压力

物体对斜面的压力

最后，根据滑动摩擦力与压力的关系，得出物体受到的摩擦力

物体受到的摩擦力

二、推导公式

应用预备知识，计算沿斜面匀速推动物体时的机械效率

机械效率表达式

三、相关因素

从导出的公式容易发现：

斜面的机械效率跟两个因素有关

1. 摩擦系数 μ

倾角度数一定，光滑程度越好（ μ 越小），机械效率就越高；

2. 倾角度数 θ

光滑程度一定，倾角度数越大（cot θ 越小），机械效率就越高。

机械效率跟摩擦系数的异比关系，容易理解；机械效率跟倾角度数的同比关系，难于理解。

为了辅助理解并记忆机械效率跟倾角度数的同比关系，可考虑两种极限情况：

两种极限情况

对于①式，因为在水平方向推动物体，举高物体的目的始终没有达到，即有用功为0，故机械效率为0。

对于②式，因为在竖直方向吊起物体，物体对斜面没有压力，则不受摩擦力，即额外功为0，故机械效率为1。

对于②式的情形，物体之所以对斜面没有压力，对学生讲解时，可采用两种方法。

1. 利用公式直接计算。

直接计算

在倾角度数由0增加到直角的过程中，其余弦值由1逐渐减小为0，则下沉力逐渐减小为0，物体对斜面的压力也就逐渐减小为0。

2. 采用反证法间接证明。

参看图2，假设物体对斜面有水平向左的压力 F 。根据力的作用是相互的，可知斜面必然对物体也有水平向右的压力 F ′ = F ，又因物体在水平方向保持静止，必然要受一个水平向左的力 F ′′与水平向右的 F ′保持平衡，但是对于这个 F ′′，我们却找不到它的施力物体（注意：地球对物体的重力沿竖直方向，在水平方向是没有分力的）。可见， F ′′并不存在，说明了一开始的假设就是错误的，从而证明了物体对斜面没有压力，物体当然也就不受斜面的摩擦力了。

反证法——力的示意图

理解了①②两式，机械效率跟倾角度数的同比关系，由知到懂，由懂到会，由会到通。掌握的程度越是提高，印象更加深刻，记忆自然牢固。

四、易犯错误

特别强调，关于斜面的机械效率及其计算，容易犯以下三个错误：

1. 少数学生误以为斜面的机械效率跟斜面长度有关

因为斜面长度增加时，有用功和额外功会同比例增加（这在推导公式的过程中看得非常明显，分子、分母的斜面长度 s 约掉了），故二者没有关系。这一点跟滑轮组是类似的。

2. 多数学生误以为斜面的机械效率跟物体重力有关

实际上斜面的机械效率跟物体重力是无关的。关于这一点，分析出错的原因，很多学生是受到了滑轮组的影响。

对于滑轮组，机械效率跟物体重力同比变化。因为物体重力增加时，有用功增大了，而动滑轮所受的重力不变，使得额外功基本上是不变的，故机械效率必然增大。

对于斜面，物体重力增加时，有用功增大了，压力（大小等于下沉力）会同比例增加，则摩擦力会同比例增加，使得额外功也同比例增加（这在推导公式的过程中看得非常明显，分子、分母的物体重力 G 约掉了），故机械效率是不变的。

3. 多数学生误以为推力跟摩擦力平衡

匀速推动物体沿斜面上升，推力既要克服摩擦力，还要克服下滑力，故三力平衡

三力平衡

从上式很容易看出，只有当

特殊情形

时，下滑力为0，即在平面上匀速推动物体时，才会出现二力平衡的特例

二力平衡

总结

将物体重力分解为下沉力和下滑力之后，分析斜面的机械效率变得简单明了、易如反掌。

一减小摩擦系数，二增加倾角度数（下沉力变小，使得物体对斜面的压力变小），都能减小摩擦力，从而减小额外功，提高斜面的机械效率。

沿斜面匀速推动物体时，斜面的机械效率跟斜面的摩擦系数、倾角度数都有关系。

数学公式为：

斜面的机械效率表达式

语言表述为：

斜面的摩擦系数越小，倾角度数越大，斜面的机械效率就越高。