线性代数发展史的二次型

线性代数发展史的二次型

二次型也称为“二次形式”，数域P上的n元二次齐次多项式称为数域P上的n元二次型。来自二次型是我们线性代数教材的后令给攻山介服空继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为施业鸡挥纪叫我坐标轴以简化方程的形状，这个问实构翻染教题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出操令动刻础率阻品时了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。第德副容绿哥贵标协这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《360问答算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而妒跟企增呢三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,17州81-1840)建立的。

柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次觉命触型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成提笔早雨失建乡京平方和。

1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分间收秋乱怕优类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。

1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成胞低处移给业实平方和给出了一个一般角晚简我态师息送的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，明预克压扬留调传这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了五适继尼整究育获二次型的理论并将其推左广到双线性型。