八年级下册数学：函数基础知识一反比例函数的图像和性质

八年级下册数学：函数基础知识一反比例函数的图像和性质

反比例函数是继一次函数后又一种比较重要的函数，并且对图像的把握要求更高，我们经常会通过数形结合的方法来解决相关的题目。我们要全面了解反比例函数的相关概念并把握其性质。

反比例函数是刻画现实世界的一种有效的数学模型。

反比例函数的定义、图像与性质

1、形如y=k/x（k是常数且k≠0）的函数叫做反比例函数。

由反比例函数的表达式y=k/x（k≠0）可以看出自变量x≠0，又因为k≠0，所以y≠0。

2、反比例函数图像

①反比例函数y=k/x（k≠0），它的图像是双曲线，因为x≠0、y≠0，所以该图像与坐标轴无交点，即反比例函数图像无限逼近坐标轴但与坐标轴永远不会有交点。

②当k>0时，双曲线的两支图像分别位于一、三象限，且在各自的象限里，y随着x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支图像分别位于二四象限，且在各自的象限里，y随着x的增大而增大。

所以研究、讨论函数的增减性时，应在各自所在的象限内进行。

3、反比例函数图像的特点与性质

①反比例函数既是轴对称又是中心对称，直线y=±x是它的两条对称轴，原点是它的对称中心。

②因为反比例函数的图像关于原点对称，若P（a，b）在双曲线上的一支上，则点（-a，-b）在双曲线的另一支上；又因为反比例函数的图像关于直线y=±x对称，若P（a，b）在双曲线的一支上，则点（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上。

丨MN丨=2√丨2k丨。

反比例函数比例系数k的几何意义：

若在反比例函数y=k/x（k是常数且k≠0）上任取一点p（x，y），过P点分别向x轴、y轴作垂线PM、PN交两坐标轴于M、N点，则矩形PMON的面积为定值S=丨k丨，与P点的位置无关。

由图可知该矩形的长为丨x丨，宽为丨y丨，所以矩形的面积为S=|x||y|=丨k丨。

所以该矩形面积为定值丨k丨，与P点在反比例函数图像上的位置无关。

2、在反比例函数y=k/x（k是常数且k≠0）上任取一点P（m、n），并作P点关于原点的对称点P'点，过P点作x轴（y轴）的垂线，过点P'作y轴（x轴）的垂线，并交于点A，则△PAP'的面积S=2丨k丨。

因为P为反比例函数y=k/x上一点，所以mn=k，由图易得Rt△PAP'的底为：

丨m-（-m）丨=丨2m丨，

高为：丨n-（-n）丨=丨2n丨，

所以△PAP'的面积：

S=1/2丨2m丨丨2n丨

=2丨mn丨

=2丨k丨。

所以△PAP'的面积与P点在反比例函数图像上的位置无关，它是一个定值2丨k丨。